流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述
南京大學聲學研究所 王新龍
【摘要】拉格朗日描述与欧拉描述乃描述流体运动的两种体系。两种描述对于线性声学几无分别，但对非线性声学则不然。人们或惯用欧拉描述分析求解声学问题，但对有些非线性问题若采用拉格朗日描述更直接了当，更易求得解析解。本文概论概述两种描述，探讨拉格朗日描述下流体运动的基本方程，最后给出一维的非线性声波方程。
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欲描述流体的运动，既可选择拉格朗日坐标体系，也可采用欧拉坐标体系。拉格朗日描述取初始时刻（如时间t =0）流体质点的三维位置矢量R=(a,b,c)作为空间变量，并标记该流体质点。随着流体的运动，t 时刻的质点运动至新的三维空间位置r=(x,y,z)。显然，r与R具有函数关系：r = r(R,t)，或用笛卡尔坐标分量表示
该关系其实给出了流体质点在空间的运动轨迹。由此可求出质点运动的速度——流速v， 显然，不同的质点具有不同的速度，即流速v不但是时间的函数，也是初始位置R的函数。不仅如此，任何描述流体状态的物理量（例如密度ρ）均属流体质点所“携带”的。不同质点的运动状态当然不同；故流体的任何物理量不仅是时间t的函数，也是初始坐标矢量R的函数，例如，密度ρ=ρ(R,t)。此种以流体质点初始位置R和时间t描述流体运动的方法，即所谓的拉格朗日描述，其中R=(a, b, c)是拉格朗日坐标。其实，拉格朗日坐标相当于质点的“标签”。所以，拉格朗日描述记录了质点的时间演化，既可追溯质点的既往，也可预测质点的未来。
与一般的流动不同，声学问题中的质点运动是围绕初始位置R=(a,b,c)的质点振动。记振动位移矢量为δr=(ξ,η,ζ)，则r=R+δr，或者，
（1a）当然，位移δr也是初始位置R=(a,b,c)和时间t的函数：δr=δr(R, t)，或用分量表示：
（1b）
与拉格朗日描述不同，欧拉描述乃现实主义的描述手法。它仅关注“现在”——t 时刻处于空间r=(x,y,z)位置的质点。在此描述下，所有物理量皆表为空间位置坐标r（欧拉坐标）和时间t的函数，例如密度ρ=ρ(r,t)。所以，欧拉描述所描绘的是流场在不同时刻的瞬时空间分布，其空间坐标r=(x,y,z)是纯数学的独立变量。
虽然如此，t 时刻位于空间位置r=(x,y,z)的流体质点并非“空穴来风”，而是从别处迁移而来。运动规律r=r(R,t)或公式（1）可对质点“追根溯源”：原则上，根据当前的空间位置r反推初始位置R。据此，欧拉描述和拉格朗日描述可以相互转换。为明确起见，特以上标（L）和（E）分别标记拉格朗日和欧拉体系下的物理量，例如密度ρ(L)(R,t)和ρ(E)(r,t)。据上论述，
诸如声波这般流体运动，位移δr的量值一般很小（即，δr的范数||δr||<<1），因此可以对上式右端作泰勒展开
（2）式中，欧拉空间的梯度算符
可见，已知位移δr=(ξ,η,ζ)，就可从欧拉体系的物理量求得拉格朗日体系的对应量。反之，若函数r=r(R,t)连续可逆，可求得逆函数R=R(r,t)，从而可把拉格朗日体系的物理量转换为欧拉体系的【注1】。特别是，对于小位移振动的情形，有如下展开
（3）式中，拉格朗日空间的梯度算符
可见，拉格朗日描述的物理量ρ(L)(R,t)与欧拉描述的ρ(E)(r,t)仅相差量级O(||δr||)。
数学上，函数关系r=r(R,t)或公式（1）所表达的是以时间t为参变数的空间映射：
（4）
矢量r在拉格朗日空间的梯度
（5）
（6）
设某质点的初始体积ΔV0（→0），t 时刻的体积ΔV。根据数学分析，雅可比矩阵J的行列式（记为|J|）是在映射（4）下质点体积元的缩放因子：
设流体初始的质量密度为ρ0，t时刻的质量密度为ρ。根据质量守恒定律，ρ0ΔV0=ρΔV。将上式代入，得到拉格朗日坐标下的连续性方程
（7）
对于一维的情形，根据定义（6）知|
J|=1+
ξa，公式（7）遂简为
（7a）
式中，P是流体压强。在拉格朗日体系中，速度v也是拉格朗日坐标R=（a，b，c）和时间t的函数：v = v(R, t)。所以，加速度dv/dt是对v的时间偏导数。如此，上列欧拉方程可改写为 在此方程的等式两端同时点乘矢量
并利用微分关系三个方程合而为一，可表为
（8）此即拉格朗日体系的流体运动方程。式中，雅可比矩阵J由公式（6）给出。或者，利用公式（5）用位移矢量δr表示，
（9a）如以矩阵表示，则可表为矩阵形式
（9b）
（10）
理想流体（如气体）满足绝热状态方程：P=P(ρ)。利用连续性方程 （7a），则
代入一维运动方程（10）的右端，得到非线性声波方程 
(11）式中，c0是熟知的线性声速，而β是非线性系数，衡量媒质本身（二次）非线性的大小。若仅计及二阶非线性小量，则方程（11）可近似为
（12）
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【注1】在诸如湍流等复杂流动情形，可逆性或许不存在，两种描述难于转换。
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