運動媒質中的聲波
Sound Waves in Moving Media
南京大學聲學研究所 王新龍
運動改變声波的頻率，最常見之例當屬高速行駛列車鳴笛聲的音調（頻率）變化。此乃著名的多普勒效應（Doppler Effect）。其實，這是一種波動的運動學現象，涉及媒質、聲源和觀察者（或接收器）三者之間的相對運動。本文僅探討運動媒質中的聲傳播規律以及聲在運動媒質界面上的反射與透射等基本問題。
多普勒效應
試以兩端開口、長為l的聲管為例說明。眾所周知，管內聲波之所以共振，只因聲波的振盪週期恰等於管內聲波來回一個行程所需的時間。假如管與其內流體皆靜止不動，則管的最大共振週期為T0=2l/c0，最小共振頻率（基頻）為熟知的f0=1/T = c0/2l，其中c0為管內媒質的聲速。但是，若管中流體以速度V流動，聲波在管內一個來回耗時
所以，最小共振頻率 f 遂為
式中，f0是管內流體靜止時的共振頻率，M是媒質運動的馬赫數（Mach number），表徵流體的流動相對於聲速的快慢。馬赫數M大於1是超音速。從上式可知，管內空氣的流動使共振頻率f下降。
假設媒質攜聲源以速度V沿x的正向運動，聲源向x軸的正向輻射平面聲波。在相對媒質靜止的坐標系（稱為隨動坐標系）中，聲波的波前當以速度c0向前（x方向）傳播，聲波的頻率為f0=c0/l，其中l是聲波的波長。但是，對於靜止坐標系（或謂實驗室坐標系）中位於聲源正前方的觀察者而言，波前傳播速度是c=c0+V，但所觀察到的波長仍為l。因此，此靜止坐標系的觀察者所測得的聲波頻率是，
此種情形等價於媒質與聲源皆靜止，而觀察者以反向速度（－V）運動之情形。如果僅媒質以速度V沿x正向運動而聲源靜止（即在實驗室坐標系中），則波前在聲源的一個週期T內所行進的距離仍為l=cT=(c0+V)T，故其頻率為f=1/T=(c0+V)/l，仍由上式給出，與實驗室坐標系中的觀察者測量所得到的結果一致。此處須注意，波前傳播的距離（例如波長l）與觀察者運動與否有關。
伽利略坐標變換下的波矢與頻率
推而廣之，設媒質在三維空間以勻速V（三維矢量）運動，方向任意。在隨動坐標系中，空間坐標為r0=(x0, y0, z0)，時間為t0。在實驗室（靜止）坐標系中，空間坐標為r=(x,y,z)，時間為t。由於V是常矢量，兩個坐標體系通過伽利略變換建立聯繫：
（1）在此變換下，坐標之間的空間梯度算符和時間微分算符存在以下關係
（2）設聲波的相位為φ，它既可以用隨動坐標系表示，也可以用靜止坐標系表示：
波矢定義為相位φ的負梯度。在實驗室和隨動坐標系下，聲波的波矢分別為，
但根據微商關係（2），恒有k=k0，即波矢具有伽利略變換的不變性。也因此，波長在兩坐標系下是不變的：λ =λ0。
另一方面，圓頻率定義為相位φ的時間變化率。設實驗室坐標系中的圓頻率為ω，隨動坐標系為ω0，
利用微分關係（2），得
利用馬赫數（Mach Number）
（3）利用波數的不變性，此頻率關係可表為
（4a）此即推廣了的多普勒公式，其中n是波矢k的方向矢量。設q是波矢k與媒質運動速度V之間的夾角，則上式可表為
（4b）
由此得到波傳播的相速度c = ω/k：
（5）
可見，在流動媒質中聲波的頻率及其傳播速度具有各向異性。當觀察者位於聲源的正前方（θ=0），聲速最大。而在聲源之後（θ=π），c=c0(1-M)，聲速最小；對於超音速（M>1）運動的媒質，c<0，意謂在聲源之後的觀察者聽不到聲源發出的聲音。
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