非线性单摆
Nonlinear Pendulum
南京大學聲學研究所 王新龍
单摆是振动的范例。人所熟识的单摆，多为小角摆幅者，其运动服从线性谐振子方程，具有与系统动态行为无关的固有频率。然而，一旦角摆幅足够大，单摆之运动已然非线性矣。所幸者，单摆的非线性运动方程有椭圆函数解析解。本文讨论理想（无阻尼）单摆非线性运动的理论。结果表明，非线性单摆仍可作周期运动（摆动），但其周期非常数，而与摆幅有关：摆幅愈大，周期越长，与日常所见一致。
理想单摆由质量为M的质点和悬挂此质点的轻杆组成，杆之另一端固定于可自由旋转的支点O，如右下图所示。一旦质点M偏离平衡位置，摆就在重力加速度（g）的作用下来回摆动。图中q是质点-细杆偏离垂线的瞬時角度。单摆的运动方程可表达为：
式中， ω02 =g/l。按常规符号上单点表示一阶时间导数，双点表示二阶时间导数。这是一个非线性二阶常微分方程。若单摆仅在其平衡位置（θ=0）附近作微摆动，|θ| <<1，sinθ ≈ θ，此单摆方程可线性化为标准的线性单振子方程，而ω0 正是单摆作线性摆动的固有频率，2π/ ω0是摆动周期。要强调的是，线性摆动频率ω0作为单摆特征参数与摆幅等动态量完全无关。但是，如果摆角|q|<<1的条件不满足，则sinq不能用q 取代，线性化无效，必须求解单摆非线性方程。所幸者，单摆方程是少数有可解析求解的非线性方程之一。
通过时间变换：t → ω0t，可消去单摆方程中的频率常数ω0。新时间以线性振动周期为单位，一个周期为2π。因此，不失一般性，下文恒假定 ω0 = 1，如此单摆方程取更简单的形式：
（1）
因此，单摆运动方程（1）可表达为相空间 (θ，ω)的轨道微分方程：
（2）
式中E是积分常数。此方程意謂单摆的能量守恒定律：等式左端第一项是系统的动能，第二项是势能，右端积分常数E是总能量。然而，下文中我们宁可采用如下定义的常数：
（3）
（4） 对于每个k值，能量守恒方程（4）给出了（q, w）相平面上的运动轨道，如下图所示。图中，青色轨道对应k=0.2，蓝色k=0，红虚线k=1，黑色k=1.2。图中的原点（0，0）对应k=0，是系统的稳定平衡位置。
当 k << 1时，q 和w均为小量，方程（4）于是可近似为
即相轨道近乎半径为2k的圆。随着k的增大，轨道方程（4）所围区域扩大，轨道形状也逐渐偏离圆形。但只要能量足够小乃致 k < 1，轨道仍是环绕平衡点(0,0)而闭合曲线。在此情形下，摆角|θ|<π，即质点不可能摆动到支点O的正上方（θ=±π）。
但若系统能量大到以致k >1，则从方程（4）可知
此表明，角频率ω要么恒负，要么恒正，即单摆的质点作围绕支点的顺时针或反时针旋转运动，如上图中的上下两条黑色轨道（k = 1.2）所示。在此情形下，质点即使运动到θ=±π的最高点也具一定的角速度，驱使其继续往原方向转动。所以，k =1的轨道是单摆摆动与转动的分界线（Seperatrix）（上图红虚线），上下对称，交于θ轴的不稳定平衡点：θ=±π。把k=1代入方程（4），并经整理得到分界线的轨道方程：
其满足初始条件θ(0)=0的定解：
（5）可见，在此极端情形下，仅当t→∞时，θ→π，角速度和加速度也无限缓慢地趋于零。
为了获得任意k值下单摆运动的通解，运用三角函数关系把首次积分方程（4）表为
（6）
设初始条件为θ(0)=0。据变换（6），对应φ(0)=0。对上式左右两端作积分得到积分解
（7）
（8）
（9a）此正是所企求的单摆非线性运动的精确解析解。利用雅可比椭圆正弦函数sn的恒等关系：k sn(x; k) = sn(kx; 1/k)，公式（9a）给出的解析解也可表为：
（9b）
于是解析解（9a）近似为
（7）相反，随着k的增大，波形偏离简谐，且周期变长。周期波形偏离简谐而发生畸变。者表明波形中出现了高次谐波成份。当k →1时，sn (τ; k) → tanh(τ)，公式（9a）趋近于非周期特殊解（5），其周期无穷长。
（10）
其中，K是模量为k的第一类全椭圆积分：
事实上，解（9a）中的sn函数的周期就是4K。右图绘出了周期T与k的关系。从图可见，在小振幅（k<<1）振动下，T ≈ 2p；随着角幅qm的增大，k增大，周期也随之变长；而当k→1时，T→∞。因此，非线性单摆的振动周期不再是常数，而是摆幅qm的函数。只要k足够小，可以对公式（10）作级数展开：
综上所述，得到两个重要结论：
须强调指出，此两者不仅是单摆所具有的，也普适于一般的非线性振动系统。
【1】王竹溪、郭敦仁著《特殊函数概论》第十章。
评论