法向声阻抗率与界面反射
2011-10-23 19:42:19| 分类：
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法向声阻抗率与界面反射
Normal Specific Acoustic impedance and Sound Reflection
南京大学声学研究所 王新龙
声现象丰富多彩，不胜枚举。最常见者，莫过于声在媒质界面上的反射。声反射是界面两侧媒质声阻抗失配的結果。本文的宗旨首在阐明法向声阻抗率的概念，继而建立法向声阻抗率与声反射、透射系数的普适关系。因此关系，已知法向声阻抗率便可立即获知反射与透射系数；反之亦然。法向声阻抗率刻画媒质或界面的声学性质，因而决定声的反射与透射行为。
一、法向声阻抗率
设x<0区域的媒质的声特性阻抗率为z0=ρ0c0，其中有频率为ω、波数为k=ω/c0的平面声波以角度θi=θ入射到位于x=0的媒质边界上，如下图一所示。记入射声压为pi，反射声压为pr。根据反射律，反射角θr=θi。定义界面的法向声阻抗率为界面上的声压p与法向速度vn之比：
（1）式中n是法向单位矢量，v是与声压p对应的流体速度矢量。其实，定义式（1）并不一定限于边界处，亦适用于媒质中任意空间。按此理解，则所谓的法向n，实乃指定的某个特殊方向，故法向声阻抗率是方向声阻抗率（directional specific acoustic impedance）。
根据线性化的质点运动方程，
所以，法向速度vn与声压p的法向导数
存在以下的关系
： 代入定义式（1），则法向声阻抗率可表达成：
（2）
本文默认图一中x=0界面的法向指向正x方向（当然，视实际需要，n也可指负x方向）。所以，法向导数正好是在x方向上的导数，即
。
一般而言，法向声阻抗率zn是声波频率ω的函数，zn = zn(ω)。 图一、声波反射示意图。媒质的界面位于x=0，入射波pi自x<0斜入射于界面上反射而形成反射波pr。
由于界面的反射，入射侧的总声场（声压p，流体质点速度v）是入射声场与反射声场之叠加。若已知平面声波的声压反射系数rp，则入射声场（声压pi，质点速度vi）和反射声场（声压pr，质点速度vr）可分别表为，
（3） 其中
ni和
nr分别为入射和反射声波的方向矢量
。关于平面波的速度与声压的关系，参见《理想流体中的声波》一文。根据反射律，反射角θr等于入射角θi。又因法向n沿x方向，故ni·n = － nr·n = cosθi。入射侧（x<0）的总声压p和法向速度vn分别为
（4）（相见下文）。把公式（3）代入（4），公式（4）代入法向声阻抗率的定义式（1），得到法向声阻抗率与声压反射系数的关系
（5） 所以，已知声压反射系数
rp，可立即求出界面的法向声阻抗率zn。反之，若已知界面的法向声阻抗率zn，根据此公式可以得到界面声压反射系数rp：
（6）
由于法向声阻抗率zn一般与频率ω有关，反射系数rp也是频率ω的函数。因此，具有一定频谱结构的入射波，其反射的波形会与入射的不同。从公式（6）式可知，当zn = z0n时，界面阻抗匹配，反射系数rp为零，入射声波全透射。如果法向声阻抗率zn呈纯阻，反射系数rp是实数，或正（反射声压与入射声压同相），或负（反射声压与入射声压反相）。若界面是刚性的，zn →∞，反射系数rp=1，声波全反射（刚性反射）；在刚性反射下，反射声压与入射声压同相。若界面是绝对软界面：zn =0，反射系数rp=-1，声波也全反射，不过反射声压与入射声压正好反相。如果声阻抗率呈纯抗性，即zn = jxn，则
表明入射波也全反射，但入射与反射波之间存在相位差。所以，抗性的界面具有声能储存的功能。
三、法向声阻抗率的连续性和转移公式
法向声阻抗率zn具有两个重要的性质：
其一，在界面上法向声阻抗率连续：
（7）
此性质是界面两侧声压p和流体法向速度vn连续两个边界条件的必然结果。
其二，在均勻媒质内，平面声波的法向声阻抗率zn是相互关联的，即已知此处的法向声阻抗率zn，可求彼处的zn。由于任意反射问题中的平面波声场均用公式（3）和（4）表达，我们可以写出任意位置的法向声阻抗率：
注意，与法向平面内坐标（y，z）有关的公因子已经从分子、分母中约去，故而zn仅仅是x的函数。假定已知图一中x=x1处的（总的）法向声阻抗率zn|x=x1，就可以从上式求得反射系数rp。如此，zn(x)就完全是已知的函数，可以求出任意x处的法向声阻抗率。例如，在x=x2处的法向声阻抗率zn|x=x2为 
（8）此即法向阻抗率的转移公式，与振动系统的力阻抗转移
公式如出一轍。式中kx是波数焉x轴的投影：kx=kcosθi。须提醒，公式（8）当然仅适用于均匀媒质內的平面波声场。
于是，公式（7）和（8）建立了平面简谐声波法向声阻抗率的普遍联系。
四、法向声阻抗率各种含义的辨析
必须指出，法向声阻抗率定义式（1）或（2）中的声场量（声压与速度），一般指的是总声场。固然，亦可以按公式（1）或（2）定义声场的某个成份（如入射波）的法向声阻抗率。例如，在入射侧，总声场是入射波（入射声压pi和速度vi）和反射波（反射声压pr和速度vr）的叠加，两者皆为行波，可分别定义各自的法向声阻抗率： 所以，
显然，这些行波成份的法向声阻抗率不等于总声场的法向阻抗率。更重要的是，它们在边界上是不连续的。
如果透射媒质（设其特性声阻抗率为z1）半无限（x>0），则其中仅存在行波透射波pt（对应的速度矢量为vt），其法向声阻抗率为zt,n，
式中，θt是声场的折射角，由折射定律确定。根据法向声阻抗的连续性方程（7），它等于边界总的法向声阻抗率： zn=zt,n。
但一般情形下，界面法向声阻抗率zn不一定等于zt,n。例如，在图二所示的无限媒质（特性声阻抗率为z0=ρ0c0）中，置有厚度为l的一层其它媒质（隔层），特性声阻抗率为z1=ρ1c1。显然，透射波的法向声阻抗率为z0n。又根据法向声阻抗率的连续性（7），透射面上的法向阻抗率等于z0n。根据法向声阻抗率的连续性（7）和阻抗转移公式（8），可以求得入射面（x=0）上的法向声阻抗率zn为
式中，
k1是隔层中的声波数在法向（x）的投影，z1n是隔层的行波法向声阻抗率。可见，此法向声阻抗率既不等于隔层的行波法向声阻抗率z1n，也不等于透射层的行波法向声阻抗率z0n，而且与声波频率和隔层参数（如厚度l，声特性阻抗率z1）有关。
五、法向声阻抗率与界面透射（吸声）系数
既然法向声阻抗率刻画了界面的声学特征，则已知法向声阻抗率就完全可以获知甚声波的界面行为。例如，已知界面法向声阻抗率zn，可以根据公式（6）求出界面的反射系数，也可以求出平面波在界面上的透射声强系数：
把（3）（4）中的声压p代入，得到
而法向入射声强为
把反射系数公式（6）代入，得到以下声强透射系数的公式：
在某种意义上，透射声功率也就是界面单位面积上所吸收的声功率，故声强透射系数就是界面的吸声系数。
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